要证明这个等式，我们可以利用三角函数的倍角公式和对数的性质。首先，我们知道：

cos⁡(2�)=2cos⁡2(�)−1cos(2θ)=2cos2(θ)−1

将 �θ 替换为 �a 和 �b，我们有：

cos⁡(2�)=2cos⁡2(�)−1cos(2a)=2cos2(a)−1

cos⁡(2�)=2cos⁡2(�)−1cos(2b)=2cos2(b)−1

因此，

cos⁡2(�)=12(1+cos⁡(2�))cos2(a)=21​(1+cos(2a))

cos⁡2(�)=12(1+cos⁡(2�))cos2(b)=21​(1+cos(2b))

接下来，我们知道：

cos⁡(4�)=2cos⁡2(2�)−1cos(4θ)=2cos2(2θ)−1

将 �θ 替换为 �a 和 �b，我们有：

cos⁡(4�)=2cos⁡2(2�)−1cos(4a)=2cos2(2a)−1

cos⁡(4�)=2cos⁡2(2�)−1cos(4b)=2cos2(2b)−1

再次利用 cos⁡(2�)cos(2θ) 的表达式，我们可以得到：

cos⁡(4�)=2(2cos⁡2(�)−1)2−1cos(4a)=2(2cos2(a)−1)2−1

cos⁡(4�)=2(2cos⁡2(�)−1)2−1cos(4b)=2(2cos2(b)−1)2−1

将 cos⁡2(�)cos2(a) 和 cos⁡2(�)cos2(b) 的表达式代入，我们可以将 cos⁡(4�)cos(4a) 和 cos⁡(4�)cos(4b) 表示为 cos⁡(2�)cos(2a) 和 cos⁡(2�)cos(2b) 的函数。然后，我们可以将这些结果代入到 log⁡(��)log(ab​) 中，最终得到所需的等式。