本文发表在 rolia.net 枫下论坛俺的小学是在文革中度过的，那时全国学生都差不多，即卷入各种政治运动，另外就是“学工、学农、学军”和参与各种体力劳动。文化学习大家都在混，大人们在忙着“抓革命、促生产、促工作”，白天上班晚上政治学习，对孩子的学习几乎是全民大放羊。
混完小学到了初中，文革已到后期，政治风云变幻依旧，或许是因人长大一些有点力气？中学安排的劳动强度比小学更大也更频繁，几乎经历了类似成人的体力劳动，简直成了准知青，工厂、农村、校办农场（俺们那叫分校，远离学校一块不小的地盘）...不少地方都留下了那代学生的足迹。但劳动之外的在校学习中，却因某种机缘而迷入了数学的几何世界。
具体咋开始的记忆已经模糊了，大概是学校正在教平面几何的内容，学过一些基本定理和推理方法，做过一点习题。某日有位平时经常一块玩的哥们不知从哪弄来一道几何证明题，问你们几个谁能证明出来，哥几个把题和图抄下拿回家做。第二天聚一块时都说做出来，并亮出各自的解法，结果那哥们说这算简单的，再给你们来道难的......几次之后，几位兴趣来了，都各自纷纷去找题来做和拿来挑战其他人，心态就跟现在玩电脑游戏相互挑战所建记录一样，而课内学习的相关功课因相对简单也就被超越了。
其实，那些几何题所用到的几何知识、公理/定理就那么几条，要求解的就是根据已知条件，证明有关线、角、线段、面积等图形要素之间的关系，比如相等、大于/小于、平行、直角、线的相交/垂直、交点/位置等等，但已知条件与所给的图形可能变化无穷。在交流解法时，虽然英雄所见略同的不少，但往往也会发现一些题有多种解法，有的是自己或别人没想到的：“哦，原来还可以这样解！”，于是刷题与交流的过程，自然而然地就变成了一种求知的快乐。当时的环境貌似没啥考试，或许考试很简单没留下什么印象。也许教育界对文化学习没设啥目标，学生毕业就上山下乡当知青了，学校咋还会在乎什么作业/成绩啥的，故无父母推娃，更不存在什么竞赛、奥数之类的了......现在回想起来，当年这种自推刷题纯粹就是找乐子来玩，除了比别人更早/更快解出来可以暂时炫耀一把外，完全没啥功利可言，但对俺却潜藏了重要的影响......
对俺个人而言，解题中对问题专注思考的初期体验，如同一个特喜欢探奇的孩子，一头钻进了未知的洞穴里去寻找另一个出口，每一种可能的解法就像在黑乎乎的洞中那些依稀可感的光线，诱人去追寻...窜过许多洞后就知道：有的洞有不止一个出口；有的洞中有洞或岔路纵横，一不小心就可能误入歧途无功而返。求证的过程与证明后的刺激与成就感让人痴迷，实际上，就是感受到了逻辑的力量、理性的光辉及其迷人之处，亦即思考的乐趣。
当时，为了找题来做，偷偷翻遍了家里大人的藏书，还真找出几本旧的参考书，里面有些题可以拿来做。同时也翻出过其它的物理、化学、语文等等方面的书，然后才发觉：原来父辈们当年同期所学过的知识，其实比俺们那代人所学的要深广丰富得多，俺们文革期间的课本充斥着如眼下插入广告一样的政治口号，真正有用的知识内容实在是简陋贫乏得很，基础教育真不如父辈那一代，也让处于青春反叛期的俺对父辈们多少产生了一种敬意，求知的欲望之门自此也被撬开......
行笔至此，虽往事如潮涌来，还是让俺回到数学话题吧，貌似从那时起，俺对几何证明的沉迷期约有一年多左右。迷到啥程度呢？做题不仅仅是在书桌上，很多是在别处，记得放学回家的路上，有时也在想题，突然有个类似灵感的念头闪现，就在路边用石子或棍儿划拉几下图案。还有当年大院里几乎家家都养鸡，俺们也养，喂鸡时也会陷入思考，不时拿着鸡饲料的搅棒棍儿在地上边想边划拉几下。若找到了解法，就赶紧找纸记录下来。那种专注与享受的体验，与大多数的思考沉迷者应该是相似的，类似后来那篇著名的报告文学《哥德巴赫猜想》中陈景润的一些桥段。
这段经历的影响，让俺从一个原本随大流而混的学生，变成了把学习当成一种乐趣，享受思考，所谓“追求上进”的学生。随着文革结束和恢复高考，后来又幸运的赶上了好时光，混入了大学。高考各科成绩具体不记得了，但清楚地记得前三门的分数从高到低是按数、理、化依次排下来的，太好记了嘛。对那段时期相关经历的描述，曾发过旧帖《独自一个人的散步》(#11064506@0)，那是当年的真实写照。
除了可见的影响之外，就是对思维方式的影响。比如对问题喜欢从多个角度去思考，尤其面对比较困惑/复杂或难于理解的问题时，会尝试寻找尽量多的视角来看问题。这就是前面提到的，因为受了同一道题可能有多种解法的影响。印象较深的是，在解几何题时，发现所谓“辅助线”的神奇作用：对一个百思不得其解的图形，在某处画一条虚拟的辅助线后，眼里图案就发生了微妙变化，加上想象，解法就突然出现了，一个原本无从下手的问题就找到了突破口。甚至有的题只要能画出一条或两三条辅助线，答案立马昭然若揭、一目了然。也有的情况是将图形翻过来转过去，从不同角度和侧面去观察/想象，或同时加上辅助线，解法也就出现了希望......那就因为对问题的思考随着视角的变化，思维方式从原来被套牢的方向发生了转变，从而触发了新的思路/解法。后来读到《老子》说：“大音希声，大象无形”时，便会心一笑：能让人听出“大音”、看出“大象”的关键就类似那根神奇的辅助线嘛......
因兴趣所至，对老师在讲课中的一些精彩描述和比喻也会留下很深的印象。中学时有次数学老师请假，其丈夫临时代课，他是学校的领导之一，也是数学老师出身，老俩口都是复旦毕业的，清楚地记得他的一段描述：“你们（学生）学数学要学会想象，线是啥？线就是点的运动，点动起来就成了线；线动起来就成了面；面动起来就成了体（立体）”...很形象生动地描述了点、线、面的转化关系。毕竟是领导，思维层次貌似比其夫人高一截，其夫人平时上课虽讲的也不错，但没有这种提炼出来的启发金句。
后来到了大学工科，学高等数学时，因对一些数学概念的由来感兴趣，曾经去图书馆借了些有关数学发展史一类的书来读，把什么牛顿、莱布尼茨等等很多人物的说法扫它一通，居然有看小说的感觉...当时自己都觉得有点另类，因为周围没人看这种东东的，大部分不是做作业就是刷题，比如刷著名的吉米多维奇习题集，俺虽然也做过一点，但还是觉得更喜欢探究一些概念和定律/公式/方程的由来。后来才意识到，工科的教学追求的是实用、够用即可，不是像理科或纯数学专业那样要学生去探究由来或过于深入，俺那种喜欢探究至底的思维模式爱好，或许更适合去读理科或纯数学。当然，在工科的学习压力之下，俺也就随了大流，不花时间去探究那么多了，对一些东西因环境条件及时间精力有限而力所不逮，也只能心向往之......
有人或许会认为，平面几何这种初中甚至小学生都能学的东东，太简单，貌似也没啥用（无功利可图）。其实，在科学源头的古希腊，那时学数学并非现在一些人所认为的侧重于学计算，而是学对事物内在规律的推理能力。数学是西方科学与文明的重要核心，著名的《几何原本》的发行量曾仅次于《圣经》。在柏拉图学园（单词Academy的由来）大门上有题字：“不懂几何者不得入内”。因为，柏拉图认为：几何是一个训练自由人性的基本学科。没受过几何训练的人，不可能真正拥有一颗自由的心灵。够高大上吧？故而，有人开玩笑说：“在希腊人心目中，几何学和数学实际上是一门德育课程、一门政治课，学习几何的目标不是为了画图，而是要得到自由的灵魂；学习几何的目标不是使用，而是人性的涵养和训练。”
以上，就是俺与各位分享的一些回忆和随想，谢谢有耐心看完。更多精彩文章及讨论，请光临枫下论坛 rolia.net
混完小学到了初中，文革已到后期，政治风云变幻依旧，或许是因人长大一些有点力气？中学安排的劳动强度比小学更大也更频繁，几乎经历了类似成人的体力劳动，简直成了准知青，工厂、农村、校办农场（俺们那叫分校，远离学校一块不小的地盘）...不少地方都留下了那代学生的足迹。但劳动之外的在校学习中，却因某种机缘而迷入了数学的几何世界。
具体咋开始的记忆已经模糊了，大概是学校正在教平面几何的内容，学过一些基本定理和推理方法，做过一点习题。某日有位平时经常一块玩的哥们不知从哪弄来一道几何证明题，问你们几个谁能证明出来，哥几个把题和图抄下拿回家做。第二天聚一块时都说做出来，并亮出各自的解法，结果那哥们说这算简单的，再给你们来道难的......几次之后，几位兴趣来了，都各自纷纷去找题来做和拿来挑战其他人，心态就跟现在玩电脑游戏相互挑战所建记录一样，而课内学习的相关功课因相对简单也就被超越了。
其实，那些几何题所用到的几何知识、公理/定理就那么几条，要求解的就是根据已知条件，证明有关线、角、线段、面积等图形要素之间的关系，比如相等、大于/小于、平行、直角、线的相交/垂直、交点/位置等等，但已知条件与所给的图形可能变化无穷。在交流解法时，虽然英雄所见略同的不少，但往往也会发现一些题有多种解法，有的是自己或别人没想到的：“哦，原来还可以这样解！”，于是刷题与交流的过程，自然而然地就变成了一种求知的快乐。当时的环境貌似没啥考试，或许考试很简单没留下什么印象。也许教育界对文化学习没设啥目标，学生毕业就上山下乡当知青了，学校咋还会在乎什么作业/成绩啥的，故无父母推娃，更不存在什么竞赛、奥数之类的了......现在回想起来，当年这种自推刷题纯粹就是找乐子来玩，除了比别人更早/更快解出来可以暂时炫耀一把外，完全没啥功利可言，但对俺却潜藏了重要的影响......
对俺个人而言，解题中对问题专注思考的初期体验，如同一个特喜欢探奇的孩子，一头钻进了未知的洞穴里去寻找另一个出口，每一种可能的解法就像在黑乎乎的洞中那些依稀可感的光线，诱人去追寻...窜过许多洞后就知道：有的洞有不止一个出口；有的洞中有洞或岔路纵横，一不小心就可能误入歧途无功而返。求证的过程与证明后的刺激与成就感让人痴迷，实际上，就是感受到了逻辑的力量、理性的光辉及其迷人之处，亦即思考的乐趣。
当时，为了找题来做，偷偷翻遍了家里大人的藏书，还真找出几本旧的参考书，里面有些题可以拿来做。同时也翻出过其它的物理、化学、语文等等方面的书，然后才发觉：原来父辈们当年同期所学过的知识，其实比俺们那代人所学的要深广丰富得多，俺们文革期间的课本充斥着如眼下插入广告一样的政治口号，真正有用的知识内容实在是简陋贫乏得很，基础教育真不如父辈那一代，也让处于青春反叛期的俺对父辈们多少产生了一种敬意，求知的欲望之门自此也被撬开......
行笔至此，虽往事如潮涌来，还是让俺回到数学话题吧，貌似从那时起，俺对几何证明的沉迷期约有一年多左右。迷到啥程度呢？做题不仅仅是在书桌上，很多是在别处，记得放学回家的路上，有时也在想题，突然有个类似灵感的念头闪现，就在路边用石子或棍儿划拉几下图案。还有当年大院里几乎家家都养鸡，俺们也养，喂鸡时也会陷入思考，不时拿着鸡饲料的搅棒棍儿在地上边想边划拉几下。若找到了解法，就赶紧找纸记录下来。那种专注与享受的体验，与大多数的思考沉迷者应该是相似的，类似后来那篇著名的报告文学《哥德巴赫猜想》中陈景润的一些桥段。
这段经历的影响，让俺从一个原本随大流而混的学生，变成了把学习当成一种乐趣，享受思考，所谓“追求上进”的学生。随着文革结束和恢复高考，后来又幸运的赶上了好时光，混入了大学。高考各科成绩具体不记得了，但清楚地记得前三门的分数从高到低是按数、理、化依次排下来的，太好记了嘛。对那段时期相关经历的描述，曾发过旧帖《独自一个人的散步》(#11064506@0)，那是当年的真实写照。
除了可见的影响之外，就是对思维方式的影响。比如对问题喜欢从多个角度去思考，尤其面对比较困惑/复杂或难于理解的问题时，会尝试寻找尽量多的视角来看问题。这就是前面提到的，因为受了同一道题可能有多种解法的影响。印象较深的是，在解几何题时，发现所谓“辅助线”的神奇作用：对一个百思不得其解的图形，在某处画一条虚拟的辅助线后，眼里图案就发生了微妙变化，加上想象，解法就突然出现了，一个原本无从下手的问题就找到了突破口。甚至有的题只要能画出一条或两三条辅助线，答案立马昭然若揭、一目了然。也有的情况是将图形翻过来转过去，从不同角度和侧面去观察/想象，或同时加上辅助线，解法也就出现了希望......那就因为对问题的思考随着视角的变化，思维方式从原来被套牢的方向发生了转变，从而触发了新的思路/解法。后来读到《老子》说：“大音希声，大象无形”时，便会心一笑：能让人听出“大音”、看出“大象”的关键就类似那根神奇的辅助线嘛......
因兴趣所至，对老师在讲课中的一些精彩描述和比喻也会留下很深的印象。中学时有次数学老师请假，其丈夫临时代课，他是学校的领导之一，也是数学老师出身，老俩口都是复旦毕业的，清楚地记得他的一段描述：“你们（学生）学数学要学会想象，线是啥？线就是点的运动，点动起来就成了线；线动起来就成了面；面动起来就成了体（立体）”...很形象生动地描述了点、线、面的转化关系。毕竟是领导，思维层次貌似比其夫人高一截，其夫人平时上课虽讲的也不错，但没有这种提炼出来的启发金句。
后来到了大学工科，学高等数学时，因对一些数学概念的由来感兴趣，曾经去图书馆借了些有关数学发展史一类的书来读，把什么牛顿、莱布尼茨等等很多人物的说法扫它一通，居然有看小说的感觉...当时自己都觉得有点另类，因为周围没人看这种东东的，大部分不是做作业就是刷题，比如刷著名的吉米多维奇习题集，俺虽然也做过一点，但还是觉得更喜欢探究一些概念和定律/公式/方程的由来。后来才意识到，工科的教学追求的是实用、够用即可，不是像理科或纯数学专业那样要学生去探究由来或过于深入，俺那种喜欢探究至底的思维模式爱好，或许更适合去读理科或纯数学。当然，在工科的学习压力之下，俺也就随了大流，不花时间去探究那么多了，对一些东西因环境条件及时间精力有限而力所不逮，也只能心向往之......
有人或许会认为，平面几何这种初中甚至小学生都能学的东东，太简单，貌似也没啥用（无功利可图）。其实，在科学源头的古希腊，那时学数学并非现在一些人所认为的侧重于学计算，而是学对事物内在规律的推理能力。数学是西方科学与文明的重要核心，著名的《几何原本》的发行量曾仅次于《圣经》。在柏拉图学园（单词Academy的由来）大门上有题字：“不懂几何者不得入内”。因为，柏拉图认为：几何是一个训练自由人性的基本学科。没受过几何训练的人，不可能真正拥有一颗自由的心灵。够高大上吧？故而，有人开玩笑说：“在希腊人心目中，几何学和数学实际上是一门德育课程、一门政治课，学习几何的目标不是为了画图，而是要得到自由的灵魂；学习几何的目标不是使用，而是人性的涵养和训练。”
以上，就是俺与各位分享的一些回忆和随想，谢谢有耐心看完。更多精彩文章及讨论，请光临枫下论坛 rolia.net
