讲椭圆曲线加密，首先要从有限域（伽罗华域）开始说，所以先补充一些抽象代数的知识。

首先说一下有限域，有限域即存在一个有限数字n，=> 1+1+1+1+....+1 (n个）=0 在这个域上，其中1是identity elm.

讨论有限域我们只讨论乘法交换的有限域，即axb=bxa，所以因为其交换的特性，所以有限域必然是个Integral Domain.

则显然Integral Domain必然有性质 char(F)=m. (1+1+1....1=0, m个且m是最小个数）

现在我们来证明一个伽罗华域的一个重要特性，即GF(n) n必然是p^k形式，其中p是质数，而k是自然数。

要证明n是p^k形式，实际上必须先证明char(F)=m =p

如何证明呢？

当然是用反证法，假设有限域F的特征m不是一个质数，而是至少一个合数，则m=jk, 则显然，(j个）(1+1+...1)x(1+1+1.....+1)（k个）= (1+1+1+1+1.....+1) (m个）=0成立。

则显然 j或者k必然至少有一个是0，或者叫0 divisor. 则显然有限域是不可能存在非0的0 divisor的，所以矛盾。

所以m必然是一个质数p.

所以任何伽罗华域的特征只能是质数p.

则显然有限域的特征是p的情况下，有限域的集合数量只能是这个p^k的范畴。

证明完毕。

这个特性将在椭圆曲线做有限域同构映射时大量使用，记住结论即可。