Loading...
(這篇文章的主體是暑假寫的，一直想修修改改，結果就...總之，希望可以給台灣對數學有興趣的中學生一些不同的觀點。歡迎轉錄。)
這篇文章的主要對象，是給已經或可能將在國際數學奧林匹亞-IMO以及在台灣相關的競賽(為求簡短，以下簡稱數奧)投資時間與精神的中學生。想談的是什麼是近代數學(亦即現在的數學家、物理學家、其他科學等使用的學問)，近代數學和數奧有哪些不同，以及從此延伸出的一些建議。
自我介紹一下，筆者參加過2004、2005、2007、2009的台灣IMO隊。前兩次是選手，僥倖拿了兩次金牌，後兩次是觀察員(類似教練)。之後畢業於台大數學系，再於Harvard數學系取得博士學位。我過去以各種身分參加過2003至2012年的IMO台灣隊選訓、培訓。現在剛開始投入數學研究，希望能以自己的經驗來從各方面進行這篇文章的討論。
一. 初等數學、高等數學、和數奧的性質異同
(註：以下所舉的數學例子對於中學生應當非常困難。這主要還是我個人能力有限，沒能夠以更為簡單的方式說明，請讀者不要被嚇到。)
我們先從中學生可能比較熟悉的數奧開始，什麼是數奧討論的問題呢？譬如看下面兩個問題：
(i) 證明對任意質數r，都存在質數p使得對任意整數n，n^r-r皆不被p整除。(2003年IMO第六題)
(ii) 證明對任意正整數C，皆存在正整數n與質數p，滿足p是n^2+1的質因數且p>C×n。(4k+1版本的質數定理。可見2008年IMO第三題於預選題集裡的附註)
第一道題目曾經出現在IMO，第二道題目則不能夠出現。這並不是因為第一道問題的敘述比第二道問題初等，而是因為我們不知道要怎麼用初等方法解決第二道問題。這裡的例子是為了說明：並不是數學本身被直接分成初等數學和高等數學(在筆者的高中年代，這是當時參與數奧的高中生的主流看法)。而是要解決一個數學問題，本身可能會(或不會)使用比我們一開始想像的更多的工具。數奧所問的問題，是那些被選出的恰巧不需要什麼工具的問題。相較之下，高等數學是一開始在十七、十八世紀是為了解決初等問題所發展的學問。後來，隨著高等數學的不斷發展，有更多的高等數學是為了解決「為了解決初等問題而提出的高等問題」而被研究(或是『為了解決為了解決初等問題而提出的高等問題而提出的高等問題』..目前看來任何深度都有可能，例如費馬最後定理的證明)。
大學生會學到的數學必修課：基礎的分析(俗稱的微積分和高等微積分)和抽象代數大約可以說是為了解決初等問題而發展的高等數學。事實上比起數奧，這些初等問題往往更加原始(或是自然，或是單純，看個人品味)。這是因為原始的問題往往要不就非常簡單，要不就真有些什麼道理在裡頭。例如我們看：
(iii) 證明任何非常數的複係數多項式p(z)都有根，也就是存在複數z使得p(z)=0。
常見的證明有兩種：第一種方法是假設z是使得絕對值|p(z)|最小的複數，那麼可以證明如果p(z)≠0，則可以用直接計算證明總是可能稍稍擾動z使得|p(z)|變的更小，從而矛盾。這裡的技術關鍵在於要如何證明真的存在z使得|p(z)|達到最小值，這是一般高等微積分課的第一學期在學習compactness的時候會學到的。第二種方法是觀察到：令n為p(z)的次數。如果固定|z|的絕對值為一個很大的正實數r讓z繞著原點轉動，則p(z)會繞原點n圈(什麼意思？)。但當r=0時p(z)是不會動的，從而推論在某個r，p(z)必須經過原點。要將這個論述變成嚴格的證明一般會使用到最基本的代數拓撲的知識，或者在這個例子裡可以用簡單的連續性概念來實現。
再舉一例：前面的問題(i)事實上有個高等數學的證明。我們有如下的定理：對任意一個n次不可分解的整係數多項式f(x)以及任意質數p，我們可以考慮f(x) mod p再分解後得到的因式(同餘p的計算一樣可以進行輾轉相除法，因此每個 mod p的多項式一樣地可以唯一分解成不可分解的質因式的乘積)，這些因式的次數的總和為n。對不同的p，我們得到一些不同的總和為n的正整數的組合。我們可以討論每種組合出現的機率：對於任意一個很大的正整數N，我們考慮小於N的質數裡面出現指定組合在所有小於N的質數裡的比例。近代數論可以證明當N趨近無窮時存在一個極限，這個極限我們可以想做是這種組合出現的「機率」。這些「機率」必定是有理數，並且可以用Galois theory來計算(跟f(x)的分解體(splitting field)有關，這裡回來了大學抽象代數的範圍)。例如固定質數r和多項式f(x)=n^r-r，則每個質數p會有恰好1/r的「機率」使得f(x) mod p依然不可分解，從而也沒有根。這給出了遠比原本問題還要令人滿意許多的答案。
希望以上的討論能大概讓讀者對於高等數學和數奧的內涵與異同有些想像。
二. 對數奧的擅長 vs 對數學的擅長
在筆者高中年代到2010年前後，中學生似乎常有這樣的觀念：(a)那些擅長數奧的同學掌握了某種天分，要像那樣才會無往而不利。或是認為(b)要有參與IMO的本事才能當一個大數學家，或是認為(c)要成為一個大數學家就像要比好數奧一樣，需要某種天生的資質。筆者不知道這些想法是不是在現在的中學生圈子裡一樣的流行(在FB牆上看起來似乎如此)。這些想法從筆者經驗看來，有些並不正確。而其中沒大錯的，它的運作方式也與我們高中時想的不太一樣。這裡盡量從自己的經驗進行討論：
一樣的從數奧先開始。首先數奧的關鍵天分其中之一是早熟；就算侷限在數奧類型的競賽，一個人16歲的時候做數奧問題贏不過別人未必代表他21歲的時候也一樣；這點可以從美國USAMO和Putnam競賽的此消彼長來觀察。在任何中學競賽裡，要是在學習上比同學早熟個一歲就不得了了，但是以人生的任何事業來說一年實在不是太大的數字。
再來的問題是數奧本身的天分究竟是怎樣的一種天分。筆者的看法是這個天分可以說是數學所需的天分的其中之一，若以重要性而論也許佔了其中三至四成。事實上從筆者認識的IMO選手看來，數奧的天分似乎更為貼近資訊科學所需要的天分。我國的IMO選手近年來約有一半就讀資工系或是就讀電機系之後轉到資工的領域，有可能是適才適所。反過來說，把數奧的教育當成數學教育就顯得很不精確。
至於學習數學，這裡狹隘的只討論做數學研究。什麼樣的人適合做數學研究呢？在筆者經驗裡，數學研究需要兩種天賦：一是能夠理解、觀察並欣賞數學的天賦，二是能夠操作數學的天賦。在這個(抽象且不精確的)分類裡，擅長數奧的天賦可能跟第二項相當接近。那第一項是什麼意思呢？
首先，一個數學家必須能夠打從內心的欣賞往往相當困難的數學才能繼續走下去。毅力可以讓自己一天坐在書桌前十四個小時(...而且不打開facebook或PTT)，可卻沒辦法讓自己的腦子真的在專心思考數學，而後者是數學研究成功的必要起點。再者，近代數學從約略牛頓的時代以來發展了三百多年，由於偏偏就是有這麼多問題如此的困難，我們必須要(也很幸運的能夠)站在以前數學家的成果上再往前走一步。能夠觀察並且深刻理解這些過去數學家的成果，是一種非常重要且難得的天賦。對筆者來說，這是一種全然在不同於數奧經驗的素質，而且在數學研究上重要性絕不遜於數奧強調的解決問題的能力。筆者在Harvard求學，見過不少天賦異稟令筆者非常佩服的同學，他們之中有些人在高中時也嘗試過數學競賽，卻在當時距離選上國家代表隊相當遙遠，只能說「兩件事本來就不一定有關係啊，誰跟你說有關係的？」
最後在這裡依自己經驗給個簡單而非常粗糙的模型：令A為一個六面骰的點數給出的隨機變數，B,C為一直丟硬幣丟到出現正面為止的次數給出的兩個(獨立)隨機變數。A,B,C是隱藏數字，但一個人在數奧的天分是A×B，而在數學的天分是B×C。或許這可以讓我們直觀的想像數奧表現和適合學習數學的程度兩者間的關係，希望分享給在中學的同學們。
三. 建議
再來是筆者從自己的經驗出發，想要給會接觸數奧的中學生的建議：
1. 在高中階段知道自己將來的興趣並不是很容易。在筆者的高中時代(十年前)，參加數奧對知道自己將來興趣的幫助非常有限－差不多唯一的幫助是多認識些朋友好能多吸收觀點來幫助自己做決定。如果不知道自己想要做什麼的話，投入太多時間在數奧在筆者看來是有些危險。筆者高中當時有一種「反正我不想做科學研究就去念電機」的氛圍。那個時候有出國比IMO，之後念電機系的同學，約莫六七成後來轉到資工相關領域去了。後來也聽過認為當時念電機是繞了冤枉路的說法，不知道這樣想的同學比例如何。另外那些去國外念大學的同學(歐美大一往往不分系)，除了念數學以外也往往最後都念些與在台灣的同學不一樣的科系。
在筆者想來，高中階段將一部分的時間精力投入在找尋自己的興趣(如果還沒有個方向)肯定是值得的，話說回來，可能參加數奧的學生不管是去學些基礎的高等數學(分析、抽象代數)，物理，或是程式設計等等，都是將來肯定會用到的知識，並且在高三要選志願之前可以幫助自己做更好的決定。
2. 對於有志於數學研究的同學來說，嘗試研讀分析和抽象代數是絕對必要的，否則你很難了解數學究竟是什麼，更遑論興趣。這些東西都是必要的學習，絕對不會白讀。反過來說，如果你開始學了一些分析與抽象代數卻沒有很想學下去，那再改行也是個好選項。事實上，許多數學學習上優秀的學生往往國中時就熟悉高中數學物理課本裡的不少知識，在高中時期是有能力走得更遠的。
目前主要的學習困難可能是做為高中生自學高等數學比較寂寞無趣，不過現在給高中生的這方面的資源似乎比筆者當時多許多，例如在大學修課不再像當時是極為稀有的事情，以及台大數學系現在給高中生的人才培育計畫數學潛水艇等等，可以期待台灣的相關學習環境也會持續的變得對高中生越來越友善。
3. 對於想要做數學研究以及進入資訊科學/工程的同學來說，筆者認為數奧的訓練可能有幫助。數奧的優點之一是只需要有同學好友能夠討論，就可以很有效率的進行，相較之下台灣其他類型的學習資源或許還在初步發展階段。在這樣的背景之下，特別適合數奧的少數中學生可以浸淫在數奧中學習到一些對將來有用的經驗。
另一方面，數奧對於未來的學習並非必要。筆者的觀察是，擅長數奧的學生可能靠自己的能力推導出一些稍微深刻的結果或是發展稍微深刻的解題方法，但筆者自己從未見過任何IMO裡的經驗能夠比數學系大二標準教材的分析與抽象代數還要深刻。縱然如此，數奧的經驗貴在是自己或與朋友一同思考推導的心得，筆者自己現在也覺得對自己的數學研究稍有些助益。但如果一個學生不適合數奧，那參與數奧無疑是走上了一條不值得的歧路。
四. 附註.
最後感謝齊震宇學長，許綺云，黃道生，陳伯恩和許多其他朋友，容忍我拙劣的文筆並對這篇文章提供許多建議。本來希望對如何學習高等數學、如何了解數奧以及兩者共通之處分別提出一些建議。但一直沒有時間蒐集資料，只好停筆於此。
虽然有不少Fields得主也是IMO的，但这些数学家，就算不搞IMO，也会去当数学家。
数学研究还是得能静下心来，看准一个方向，能潜心钻的下去。 世界上需要的数学家很是有限，也极难有所突破。数学竞赛的好手，把数学天赋应用到别的方向上，人生会更有意义。
在这里输入要转换的(这篇文章的主体是暑假写的，一直想修修改改，结果就...总之，希望可以给台湾对数学有兴趣的中学生一些不同的观点。欢迎转录。)
这篇文章的主要对象，是给已经或可能将在国际数学奥林匹亚-IMO以及在台湾相关的竞赛(为求简短，以下简称数奥)投资时间与精神的中学生。想谈的是什么是近代数学(亦即现在的数学家、物理学家、其他科学等使用的学问)，近代数学和数奥有哪些不同，以及从此延伸出的一些建议。
自我介绍一下，笔者参加过2004、2005、2007、2009的台湾IMO队。前两次是选手，侥倖拿了两次金牌，后两次是观察员(类似教练)。之后毕业于台大数学系，再于Harvard数学系取得博士学位。我过去以各种身分参加过2003至2012年的IMO台湾队选训、培训。现在刚开始投入数学研究，希望能以自己的经验来从各方面进行这篇文章的讨论。
一. 初等数学、高等数学、和数奥的性质异同
(註：以下所举的数学例子对于中学生应当非常困难。这主要还是我个人能力有限，没能够以更为简单的方式说明，请读者不要被吓到。)
我们先从中学生可能比较熟悉的数奥开始，什么是数奥讨论的问题呢？譬如看下面两个问题：
(i) 证明对任意质数r，都存在质数p使得对任意整数n，n^r-r皆不被p整除。(2003年IMO第六题)
(ii) 证明对任意正整数C，皆存在正整数n与质数p，满足p是n^2+1的质因数且p>C×n。(4k+1版本的质数定理。可见2008年IMO第三题于预选题集里的附註)
第一道题目曾经出现在IMO，第二道题目则不能够出现。这并不是因为第一道问题的叙述比第二道问题初等，而是因为我们不知道要怎么用初等方法解决第二道问题。这里的例子是为了说明：并不是数学本身被直接分成初等数学和高等数学(在笔者的高中年代，这是当时参与数奥的高中生的主流看法)。而是要解决一个数学问题，本身可能会(或不会)使用比我们一开始想像的更多的工具。数奥所问的问题，是那些被选出的恰巧不需要什么工具的问题。相较之下，高等数学是一开始在十七、十八世纪是为了解决初等问题所发展的学问。后来，随著高等数学的不断发展，有更多的高等数学是为了解决「为了解决初等问题而提出的高等问题」而被研究(或是『为了解决为了解决初等问题而提出的高等问题而提出的高等问题』..目前看来任何深度都有可能，例如费马最后定理的证明)。
大学生会学到的数学必修课：基础的分析(俗称的微积分和高等微积分)和抽象代数大约可以说是为了解决初等问题而发展的高等数学。事实上比起数奥，这些初等问题往往更加原始(或是自然，或是单纯，看个人品味)。这是因为原始的问题往往要不就非常简单，要不就真有些什么道理在里头。例如我们看：
(iii) 证明任何非常数的复系数多项式p(z)都有根，也就是存在复数z使得p(z)=0。
常见的证明有两种：第一种方法是假设z是使得绝对值|p(z)|最小的复数，那么可以证明如果p(z)≠0，则可以用直接计算证明总是可能稍稍扰动z使得|p(z)|变的更小，从而矛盾。这里的技术关键在于要如何证明真的存在z使得|p(z)|达到最小值，这是一般高等微积分课的第一学期在学习compactness的时候会学到的。第二种方法是观察到：令n为p(z)的次数。如果固定|z|的绝对值为一个很大的正实数r让z绕著原点转动，则p(z)会绕原点n圈(什么意思？)。但当r=0时p(z)是不会动的，从而推论在某个r，p(z)必须经过原点。要将这个论述变成严格的证明一般会使用到最基本的代数拓扑的知识，或者在这个例子里可以用简单的连续性概念来实现。
再举一例：前面的问题(i)事实上有个高等数学的证明。我们有如下的定理：对任意一个n次不可分解的整系数多项式f(x)以及任意质数p，我们可以考虑f(x) mod p再分解后得到的因式(同余p的计算一样可以进行辗转相除法，因此每个 mod p的多项式一样地可以唯一分解成不可分解的质因式的乘积)，这些因式的次数的总和为n。对不同的p，我们得到一些不同的总和为n的正整数的组合。我们可以讨论每种组合出现的机率：对于任意一个很大的正整数N，我们考虑小于N的质数里面出现指定组合在所有小于N的质数里的比例。近代数论可以证明当N趋近无穷时存在一个极限，这个极限我们可以想做是这种组合出现的「机率」。这些「机率」必定是有理数，并且可以用Galois theory来计算(跟f(x)的分解体(splitting field)有关，这里回来了大学抽象代数的范围)。例如固定质数r和多项式f(x)=n^r-r，则每个质数p会有恰好1/r的「机率」使得f(x) mod p依然不可分解，从而也没有根。这给出了远比原本问题还要令人满意许多的答案。
希望以上的讨论能大概让读者对于高等数学和数奥的内涵与异同有些想像。
二. 对数奥的擅长 vs 对数学的擅长
在笔者高中年代到2010年前后，中学生似乎常有这样的观念：(a)那些擅长数奥的同学掌握了某种天分，要像那样才会无往而不利。或是认为(b)要有参与IMO的本事才能当一个大数学家，或是认为(c)要成为一个大数学家就像要比好数奥一样，需要某种天生的资质。笔者不知道这些想法是不是在现在的中学生圈子里一样的流行(在FB墙上看起来似乎如此)。这些想法从笔者经验看来，有些并不正确。而其中没大错的，它的运作方式也与我们高中时想的不太一样。这里尽量从自己的经验进行讨论：
一样的从数奥先开始。首先数奥的关键天分其中之一是早熟；就算侷限在数奥类型的竞赛，一个人16岁的时候做数奥问题赢不过别人未必代表他21岁的时候也一样；这点可以从美国USAMO和Putnam竞赛的此消彼长来观察。在任何中学竞赛里，要是在学习上比同学早熟个一岁就不得了了，但是以人生的任何事业来说一年实在不是太大的数字。
再来的问题是数奥本身的天分究竟是怎样的一种天分。笔者的看法是这个天分可以说是数学所需的天分的其中之一，若以重要性而论也许占了其中三至四成。事实上从笔者认识的IMO选手看来，数奥的天分似乎更为贴近资讯科学所需要的天分。我国的IMO选手近年来约有一半就读资工系或是就读电机系之后转到资工的领域，有可能是适才适所。反过来说，把数奥的教育当成数学教育就显得很不精确。
至于学习数学，这里狭隘的只讨论做数学研究。什么样的人适合做数学研究呢？在笔者经验里，数学研究需要两种天赋：一是能够理解、观察并欣赏数学的天赋，二是能够操作数学的天赋。在这个(抽象且不精确的)分类里，擅长数奥的天赋可能跟第二项相当接近。那第一项是什么意思呢？
首先，一个数学家必须能够打从内心的欣赏往往相当困难的数学才能继续走下去。毅力可以让自己一天坐在书桌前十四个小时(...而且不打开facebook或PTT)，可却没办法让自己的脑子真的在专心思考数学，而后者是数学研究成功的必要起点。再者，近代数学从约略牛顿的时代以来发展了三百多年，由于偏偏就是有这么多问题如此的困难，我们必须要(也很幸运的能够)站在以前数学家的成果上再往前走一步。能够观察并且深刻理解这些过去数学家的成果，是一种非常重要且难得的天赋。对笔者来说，这是一种全然在不同于数奥经验的素质，而且在数学研究上重要性绝不逊于数奥强调的解决问题的能力。笔者在Harvard求学，见过不少天赋异稟令笔者非常佩服的同学，他们之中有些人在高中时也尝试过数学竞赛，却在当时距离选上国家代表队相当遥远，只能说「两件事本来就不一定有关系啊，谁跟你说有关系的？」
最后在这里依自己经验给个简单而非常粗糙的模型：令A为一个六面骰的点数给出的随机变数，B,C为一直丢硬币丢到出现正面为止的次数给出的两个(独立)随机变数。A,B,C是隐藏数字，但一个人在数奥的天分是A×B，而在数学的天分是B×C。或许这可以让我们直观的想像数奥表现和适合学习数学的程度两者间的关系，希望分享给在中学的同学们。
三. 建议
再来是笔者从自己的经验出发，想要给会接触数奥的中学生的建议：
1. 在高中阶段知道自己将来的兴趣并不是很容易。在笔者的高中时代(十年前)，参加数奥对知道自己将来兴趣的帮助非常有限－差不多唯一的帮助是多认识些朋友好能多吸收观点来帮助自己做决定。如果不知道自己想要做什么的话，投入太多时间在数奥在笔者看来是有些危险。笔者高中当时有一种「反正我不想做科学研究就去念电机」的氛围。那个时候有出国比IMO，之后念电机系的同学，约莫六七成后来转到资工相关领域去了。后来也听过认为当时念电机是绕了冤枉路的说法，不知道这样想的同学比例如何。另外那些去国外念大学的同学(欧美大一往往不分系)，除了念数学以外也往往最后都念些与在台湾的同学不一样的科系。
在笔者想来，高中阶段将一部分的时间精力投入在找寻自己的兴趣(如果还没有个方向)肯定是值得的，话说回来，可能参加数奥的学生不管是去学些基础的高等数学(分析、抽象代数)，物理，或是程式设计等等，都是将来肯定会用到的知识，并且在高三要选志愿之前可以帮助自己做更好的决定。
2. 对于有志于数学研究的同学来说，尝试研读分析和抽象代数是绝对必要的，否则你很难了解数学究竟是什么，更遑论兴趣。这些东西都是必要的学习，绝对不会白读。反过来说，如果你开始学了一些分析与抽象代数却没有很想学下去，那再改行也是个好选项。事实上，许多数学学习上优秀的学生往往国中时就熟悉高中数学物理课本里的不少知识，在高中时期是有能力走得更远的。
目前主要的学习困难可能是做为高中生自学高等数学比较寂寞无趣，不过现在给高中生的这方面的资源似乎比笔者当时多许多，例如在大学修课不再像当时是极为稀有的事情，以及台大数学系现在给高中生的人才培育计画数学潜水艇等等，可以期待台湾的相关学习环境也会持续的变得对高中生越来越友善。
3. 对于想要做数学研究以及进入资讯科学/工程的同学来说，笔者认为数奥的训练可能有帮助。数奥的优点之一是只需要有同学好友能够讨论，就可以很有效率的进行，相较之下台湾其他类型的学习资源或许还在初步发展阶段。在这样的背景之下，特别适合数奥的少数中学生可以浸淫在数奥中学习到一些对将来有用的经验。
另一方面，数奥对于未来的学习并非必要。笔者的观察是，擅长数奥的学生可能靠自己的能力推导出一些稍微深刻的结果或是发展稍微深刻的解题方法，但笔者自己从未见过任何IMO里的经验能够比数学系大二标准教材的分析与抽象代数还要深刻。纵然如此，数奥的经验贵在是自己或与朋友一同思考推导的心得，笔者自己现在也觉得对自己的数学研究稍有些助益。但如果一个学生不适合数奥，那参与数奥无疑是走上了一条不值得的歧路。
四. 附註.
最后感谢齐震宇学长，许绮云，黄道生，陈伯恩和许多其他朋友，容忍我拙劣的文笔并对这篇文章提供许多建议。本来希望对如何学习高等数学、如何了解数奥以及两者共通之处分别提出一些建议。但一直没有时间搜集资料，只好停笔于此。内容