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要证明这个等式,我们可以利用三角函数的倍角公式和对数的性质。首先,我们知道:
cos(2�)=2cos2(�)−1cos(2θ)=2cos2(θ)−1
将 �θ 替换为 �a 和 �b,我们有:
cos(2�)=2cos2(�)−1cos(2a)=2cos2(a)−1
cos(2�)=2cos2(�)−1cos(2b)=2cos2(b)−1
因此,
cos2(�)=12(1+cos(2�))cos2(a)=21(1+cos(2a))
cos2(�)=12(1+cos(2�))cos2(b)=21(1+cos(2b))
接下来,我们知道:
cos(4�)=2cos2(2�)−1cos(4θ)=2cos2(2θ)−1
将 �θ 替换为 �a 和 �b,我们有:
cos(4�)=2cos2(2�)−1cos(4a)=2cos2(2a)−1
cos(4�)=2cos2(2�)−1cos(4b)=2cos2(2b)−1
再次利用 cos(2�)cos(2θ) 的表达式,我们可以得到:
cos(4�)=2(2cos2(�)−1)2−1cos(4a)=2(2cos2(a)−1)2−1
cos(4�)=2(2cos2(�)−1)2−1cos(4b)=2(2cos2(b)−1)2−1
将 cos2(�)cos2(a) 和 cos2(�)cos2(b) 的表达式代入,我们可以将 cos(4�)cos(4a) 和 cos(4�)cos(4b) 表示为 cos(2�)cos(2a) 和 cos(2�)cos(2b) 的函数。然后,我们可以将这些结果代入到 log(��)log(ab) 中,最终得到所需的等式。