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这2门课都是理论数学大二的基础课，意在介绍近代数学的处理方法，以及微分几何的微分算子的一些概念。
这2门课的最核心部分当属斯托克斯公式在光滑流形上的证明。
首先必须明确的是，根据微分算子的理论，任何dB，即边界算子，必然少于dV一维。而根据微分算子Alt 张量的基础理论，dB必然会等于span (dx1^dx2^dx3....^dx(n-1))
则在考虑斯托克斯公式的通式: bM S w = M S dw 的形式时候，可以只单独考虑 bM S f dx1^dx2^dx3...^dx(n-1) = M S Dfn dx1^dx2^dx3.....^dxn
简化证明过程如下，将光滑流形M降解为n-unit-cube形式，即[0,1]X[0,1]X[0,1]...... [0,1] n次
举个三维空间的例子：
左手边：
[0,1] x[0,1] S f dx^dy 边界积分则显然只有在 边界为 x,y像域才有效， 所以可以得出等价于 [0,1]X[0,1]X[0,1] S f( x,y, 1/0) dx ^ dy 亦可以写成 [0,1]^3 S f(x,y,1/0) dxdydz
因为边界的左旋特性，则必然对一个边界对积分会产生 [0,1]^3 S f(x,y,1)dxdydz - [0,1]^3 S f(x,y,0) dxdydz的公式。
然后看右手边：
[0,1]^3 S d (f dx^dy) 根据微分算子的特性可以得出必然等于 [0,1]^3 S Df(z)dz dx^dy
这里因为只讨论光滑流形（实际上非光滑流形只要是可数集的奇点也可以讨论，不过简化问题我就只说光滑流形），必然可以使用Fubini定理，做积分域交换：
(0,1)S (0,1)S (0,1)S Df(z) dz dxdy
显然运用微积分基本定理可以得到 (0,1)S (0,1)S [ f(x,y,1) - f(x,y,0)] dx dy
然后因为对z轴是常数的关系，所以加多一维是等价的 就能得到： (0,1)S (0,1)S (0,1)S [f(x,y,1)-f(x,y,0)] dxdydz
简化即得: [0,1]^3 S f(x,y,1) dxdydz - [0,1]^3 S f(x,y,0) dxdydz
即等于左边。斯托克斯公式在n-unit-cube上的证明完毕。推到到任意光滑流形的证明只要加上n-unit-cube拓扑上等价于任何基本群为0的光滑流形即可。
这个斯托克斯公式是MATH247， MAT257的核心知识，可以说整年的知识最终就是为了这个公式的知识点。其实也就是说，流形上的边界在对多一维积分作用下，其实是针对特定那维的微分form做了微积分基本定理而已，并且会在上下限上被取消掉，而退缩成少一维的边界微分算子的积分。
从另一个角度来解释这个问题就是，流形的边界左手自旋，在极限作用下，必然会塌陷成一个流形内点的体积dV左手积分，而光滑流形因为左手自旋可以一路互相抵消到流形的边界，所以才有了有名的 bM S w = M S dw 的斯托克斯公式。
这个是UW，UOFT 大二MATH247, MAT257的最重要的知识点。